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Matematica per le scienze economiche 
e sociali

Algebra lineare, funzioni di più variabili 
e ottimizzazione statica

Autori Claudio Mattalia - Fabio Privileggi
Argomenti Apogeo Education > Matematica e Statistica > Matematica
Editore Maggioli Editore
Formato Cartaceo
Dimensione 17x24
Pagine 388
Pubblicazione Settembre 2017 (I° Edizione)
ISBN 9788891611185
Collana Apogeo Education
Descrizione

Quest’opera, articolata in due volumi per consentire una maggiore flessibilità di utilizzo didattico, 
presenta in modo dettagliato tutti i principali concetti e strumenti matematici richiesti in un corso di laurea triennale o magistrale nell’area dell’economia 
e delle scienze sociali. Gli autori, pur senza mai rinunciare al necessario rigore teorico, hanno dedicato una particolare cura alla motivazione dei contenuti matematici presentati, facendo ampio uso di spiegazioni verbali, esempi intuitivi, illustrazioni grafiche e applicazioni economiche.
Il secondo volume è dedicato all’algebra lineare, 
al calcolo differenziale per funzioni di più variabili 
e all’ottimizzazione statica (libera e vincolata).


Volume I - Funzioni di una variabile


Gli autori


Claudio Mattalia è Ricercatore 
e Professore Aggregato di Metodi Matematici dell’Economia 
e delle Scienze Attuariali e Finanziarie 
presso il Dipartimento di Scienze Economico-Sociali e Matematico-Statistiche (ESOMAS) dell’Università 
di Torino.
Fabio Privileggi è Professore Associato di Metodi Matematici dell’Economia e delle Scienze Attuariali e Finanziarie presso il Dipartimento 
di Economia e Statistica (EST) “Cognetti de Martiis” dell’Università 
di Torino.


INDICE

Algebra lineare
1 Spazi euclidei, vettori e matrici
1.1 Punti nello spazio euclideo: i vettori 
1.2 Operazioni fra vettori
1.2.1 Somma di vettori
1.2.2 Moltiplicazione scalare
1.2.3 Prodotto scalare 
1.3 Norma e distanza negli spazi euclidei
1.3.1 Norma euclidea 
1.3.2 Versori 
1.3.3 Distanza euclidea
1.4 Definizione di matrice
1.5 Operazioni fra matrici
1.5.1 Somma di matrici  
1.5.2 Moltiplicazione per uno scalare  
1.5.3 Prodotto fra matrici  
1.5.4 Matrice trasposta 
1.6 Matrici particolari  
Esercizi 
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
2 Sistemi e funzioni lineari  
2.1 Sistemi di equazioni lineari  
2.2 Funzioni lineari negli spazi euclidei  
2.2.1 Funzioni vettoriali  
2.2.2 Funzioni lineari  
2.3 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili 
2.4 Metodi di eliminazione 
2.4.1 Matrici a scala e ridotte 
2.4.2 Operazioni e matrici elementari per la riduzione di matrici  
2.4.3 Matrici aumentate e un metodo di risoluzione per sistemi lineari  
2.5 La matrice inversa  
2.6 Il determinante  
2.6.1 Costruzione del determinante 
2.6.2 Interpretazione grafica del determinante 
2.6.3 Proprietà del determinante  
2.7 Calcolo della matrice inversa  
2.8 Rango di una matrice 
2.9 Rango, matrice inversa e riduzione di una matrice  
2.10 Risoluzione di sistemi lineari  
2.10.1 Metodo di sostituzione  
2.10.2 Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan  
2.10.3 Sistemi lineari di n equazioni ed n incognite 
2.10.4 Sistemi lineari di m equazioni ed n incognite 
2.10.5 Sistemi lineari omogenei e struttura delle soluzioni di un sistema lineare  
Esercizi 
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
3 Sottospazi vettoriali e indipendenza lineare 
3.1 Sottospazi vettoriali (lineari) 
3.2 Combinazione lineare di vettori, vettori generatori e span 
3.2.1 Definizioni e caratterizzazione dello span  
3.2.2 Discussione e primi esempi 
3.2.3 Una illustrazione geometrica del concetto di dimensione 
3.3 Vettori linearmente indipendenti 
3.4 Basi e definizione formale di dimensione  
3.4.1 Base di un sottospazio e prime proprietà 
3.4.2 Caratterizzazione e costruzione di una base 
3.4.3 Definizione rigorosa di dimensione 
3.5 Indipendenza lineare, matrici e sistemi lineari 
3.5.1 Gli spazi delle colonne e delle righe di una matrice 
3.5.2 Espansione e contrazione delle colonne di una matrice 
3.5.3 Rango di una matrice: approfondimenti 
3.6 Funzioni lineari e teorema fondamentale dell'algebra lineare 
3.6.1 Insieme immagine di una funzione lineare  
3.6.2 Nucleo e nullità di una funzione lineare 
3.6.3 Teorema fondamentale dell'algebra lineare  
3.6.4 Discussione conclusiva 
3.6.5 Esempi 
3.7 Un'applicazione: i mercati finanziari 
3.7.1 Completezza dei mercati e disponibilità di strumenti assicurativi 
3.7.2 Strategie di arbitraggio 
3.7.3 Equilibrio di non arbitraggio 
3.7.4 Esempi 
Esercizi  
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
Calcolo differenziale e ottimizzazione statica 
4 Funzioni in più variabili e calcolo differenziale 
4.1 Sottoinsiemi particolari di Rn 
4.1.1 Elementi di topologia 
4.1.2 Insiemi convessi 
4.2 Funzioni reali di n variabili 
4.2.1 Esempi economici  
4.2.2 Campi di esistenza 
4.2.3 Funzioni di due variabili e loro grafico 
4.3 Derivata e differenziale 
4.3.1 Derivate parziali 
4.3.2 Il differenziale 
4.3.3 Approssimazione lineare e differenziale 
4.4 Derivata seconda e matrice Hessiana 
4.5 Approssimazione non lineare 
4.5.1 Forme quadratiche  
4.5.2 Forme quadratiche definite da matrici Hessiane  
4.5.3 Il polinomio di Taylor 
4.6 Aspetti peculiari delle funzioni differenziabili  
4.6.1 Funzione composta e regola della catena  
4.6.2 Derivata direzionale  
4.6.3 Gradiente e direzione di massima pendenza 
Esercizi  
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo  
5 Ottimizzazione libera 
5.1 Massimi e minimi assoluti e relativi  
5.2 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine
5.3 Punti estremi interni e polinomio di Taylor 
5.4 Forme quadratiche 
5.4.1 Curvatura delle forme quadratiche di due variabili  
5.4.2 Natura delle forme quadratiche 
5.4.3 Segno della matrice che definisce una forma quadratica 
5.5 Condizioni sufficienti del secondo ordine  
5.6 Funzioni obiettivo concave (convesse) 
5.6.1 Definizione di concavità/convessità  
5.6.2 Caratterizzazione per funzioni differenziabili 
5.6.3 Altre condizioni sufficienti 
5.7 Concavità/convessità e punto estremo assoluto 
Esercizi  
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
6 Ottimizzazione vincolata con vincoli di uguaglianza 
6.1 Funzioni implicite 
6.1.1 Curve di livello 
6.1.2 Il Teorema della funzione implicita 
6.1.3 Punti regolari e punti singolari 
6.1.4 Curve di livello e gradiente 
6.1.5 Funzioni implicite nel caso di n variabili 
6.2 Il problema vincolato in due variabili 
6.2.1 Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato  
6.2.2 Metodo per sostituzione 
6.2.3 Il Teorema di Lagrange in due variabili  
6.2.4 Il moltiplicatore di Lagrange 
6.2.5 Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto 
6.2.6 Condizioni sufficienti del secondo ordine  
6.2.7 Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange 
6.3 Il problema vincolato in n variabili 
6.3.1 Vincoli definiti da più uguaglianze 
6.3.2 Vincoli regolari  
6.3.3 Il Teorema di Lagrange in n variabili 
6.3.4 Condizioni sufficienti del secondo ordine  
6.3.5 Interpretazione dei moltiplicatori di Lagrange 
Esercizi 
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
7 Ottimizzazione vincolata con vincoli di disuguaglianza 
7.1 Definizione del problema 
7.2 Vincoli espressi da disuguaglianze  
7.2.1 Vincoli convessi 
7.2.2 Frontiera del vincolo e gradiente 
7.2.3 Qualificazione dei vincoli attivi 
7.3 Punti di Kuhn-Tucker  
7.3.1 Vincoli definiti da una sola disuguaglianza  
7.3.2 Vincoli definiti da m disuguaglianze 
7.3.3 Punti di Kuhn-Tucker e qualificazione dei vincoli 
7.3.4 Un esempio in una sola variabile 
7.3.5 Il metodo e alcuni esempi  
Esercizi  
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo  
8 Applicazioni economiche 
8.1 Funzioni di n variabili in economia 
8.1.1 Ordine parziale in Rn e monotonia delle funzioni di n variabili 
8.1.2 L'ipotesi di concavità in economia 
8.2 Funzioni implicite in economia 
8.2.1 Isoquanti e saggio marginale di sostituzione 
8.2.2 Preferenze, funzione di utilità e curve di indifferenza 
8.2.3 Elasticità di sostituzione 
8.2.4 Statica comparata: l'equilibrio di mercato 
8.3 Massimizzazione del profitto 
8.3.1 Concorrenza perfetta 
8.3.2 Discriminazione del prezzo da parte di un monopolista 
8.4 Il problema del consumatore 
8.4.1 Non sazietà nei consumi e soluzione standard  
8.4.2 Il vincolo di bilancio 
8.4.3 Esempi  
8.5 Ancora sulla produzione ottima 
8.5.1 Vincolo sui costi  
8.5.2 Minimizzazione dei costi  
8.6 Funzione valore e moltiplicatori di Lagrange  
Esercizi 
Cosa bisogna ricordare di questo capitolo 
A Principio di induzione matematica 
Esercizi  
B Soluzioni degli esercizi 
Indice analitico